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費馬研究關於數論的知識，善於在一堆數字中找到一些關聯。
1640年的時候，費馬開始猜測，奇質數能表示為兩個平方數之和的充分必要條件是該質數被4除餘1。
但是他無法證明這些。
尤拉得知後，開始著手證明這個平方和定理。
尤拉給哥德巴赫寫信說：“這個證明分五步。”
“如果兩個整數都能表示為兩個平方數之和，則它們的積也能表示為兩個平方數之和。第一步的證明是婆羅摩笈多－斐波那契恆等式的一種。”
“第二步如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個能表示為兩個平方數之和的素數整除，則它們的商也能表示為兩個平方數之和。”
“第三步，如果一個能表示為兩個平方數之和的整數被另一個不能表示為兩個平方數之和的整數整除，則它們的商也必有一個不能表示為兩個平方數之和的因子。”
“第四步，如果a和b互素，則a^2 + b^2的所有因子都能表示為兩個平方數之和。”
“第五步，任何形為4n+1的素數都能表示為兩個平方數之和。”
使用這五步，尤拉成功證明了費馬的平方和猜想，變成了平方和定理。
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