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笛卡爾看到帕斯卡的數學天賦，是因為在讀過他的《論橢圓曲線》後。
笛卡爾見到帕斯卡後，開始跟他討論自己剛剛發現的新的幾何。
笛卡爾說：“我發現了多個圓在相切之間的半徑的關係。”
帕斯卡說：“幾個圓？”
笛卡爾說：“我現在研究的是四個。”
帕斯卡說：“如何相切，是內切還是外切，或者其他的？”
笛卡爾說：“我這裡有四個的，我認為四個的情況常用。四個圓兩兩在不同四個點外切，其中有個關係。”
帕斯卡正在想著形狀，對笛卡爾說：“是半徑的關係？”
笛卡爾說：“沒錯，這個四個圓的半徑分別是r1，r2，r3，r4.之間的關係是，各種各倒數的和的平方等於2乘以各自平方倒數的和。”
笛卡爾畫出了這四個外切的圓，並寫下了這個方程。
帕斯卡驗證完這個公式後，是正確的，然後說：“內切的關係呢？”
笛卡爾說：“如果r1，r2，r3內切於圓r4中，把原來左邊的r4的平方分之一改成負號即可，其他不變。”
帕斯卡說：“你的意思是被內切的，那一項，只要在左邊改成負號就可以了是吧。”
笛卡爾說：“沒錯，這就是我的發現。”
笛卡爾定理是關於平面幾何中關於圓與圓相切時半徑之間的數量關係。
後來笛卡爾定理在三維座標系中也有類似的結論：若五個球的半徑是ri(1，2，...，5)，滿足任意一個球與其他四個球外切，只需要把原來的公式從2乘以變成3乘以即可，其他依次類推不變。
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