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傅立葉很驕傲的認為，任何一個週期訊號都可以展開成傅立葉級數。
雖然很多人都認為有爭議，但卻沒有有力論據。
狄利克雷對傅立葉說：“不是所有的週期訊號都可以展開成傅立葉級數。”
傅立葉說：“什麼樣的不可以。”
狄利克雷說：“週期裡帶一些古怪的無窮大的，就不可以。”
傅立葉說：“如何的古怪法？”
狄利克雷說：“聽說過間斷點吧。”
間斷點有第一類間斷點和第二類間斷點：
第一類間斷點的左極限和右極限都是存在的，有可去間斷點和跳躍間斷點。
第二類間斷點指函式的左右極限至少有一個不存在，有無窮間斷點，振盪間斷點，單側間斷點，狄利克雷函式間斷點。
傅立葉從沒細細考慮過這個，覺得狄利克雷轉牛角尖說：“我知道，可去間斷點難道不可以展開成傅立葉級數嗎？跳躍間斷點難道不可以展開成傅立葉級數嗎？”
狄利克雷說：“無窮間斷點不可以，單側間斷點不可以。”
狄利克雷話還沒說完，傅立葉打斷：“等等，還有狄利克雷函式間斷點。你這個函式既不連續，有不可導，當然不可以了。”說完二人哈哈大笑。
狄利克雷說：“所以，想要讓週期函式能展開成傅立葉級數，要麼函式連續，要麼只有幾個第一類間斷點。”
傅立葉說：“是的，我不會去處理第二類間斷點這麼麻煩的東西。”
狄利克雷說：“在一週期內，極大值和極小值的數目應是有限個。”
傅立葉說：“你的意思是，如果是無限個最大值和最小值，我的就處理不過來？”
狄利克雷說：“還有一個條件是，訊號是絕對可積的。”
傅立葉說：“還有不可積的週期函式？”
狄利克雷寫出了不可積函式，sinx\/x求x積分，sinx^2求x積分等函式。
狄利克雷條件是一個訊號存在傅立葉變換的充分不必要條件。狄利克雷條件括三方面：
（1）在一週期內，連續或只有有限個第一類間斷點；
（2）在一週期內，極大值和極小值的數目應是有限個；
（3）在一週期內，訊號是絕對可積的。
