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置的變動,飛著的箭在任何一個瞬間都呆在一個位置上,任何一個時間單元(或時刻)的飛矢是不動的,因此飛矢是不動的。
任何物體佔據一個與自身相等的處所時是靜止的,總是佔據與自身相等的處所,所以也是靜止的。
結論:孤立物體的非連續運動是不可能的。
4.運動場
假定時空是非連續的,對於兩個物體的相對運動假定是非連續的:
假設有A、B、C三列物體,物體B、C相對於一列靜止物體A相反運動,並且每一時間單元物體B、C相對於A都運動一個空間單元。於是,在一個時間單元過後物體B、C之間相對移動了兩個空間單元,從而物體B相對於C移動一個空間單元需要半個時間單元,而物體B相對於A移動一個空間單元卻需要一個時間單元,於是一個時間單元將等於半個時間單元,這一結論明顯是不成立的。
結論:兩個物體的相對間斷運動是不可能的。
二、悖論多解
芝諾悖論就像斯芬克思的千古之謎,對後世的天才們構成了嚴峻的智力挑戰,好幾個大哲學家都嘗試解決這些難題。
1.亞里士多德
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關於二分法:
一切連續事物被說成是無限的都有兩種涵義:或分起來的無限,或延伸上的無限。因此,一方面,事物在有限的時間裡不能和數量上無限的事物相接觸,另一方面,卻能和分起來無限的事物相接觸,因為時間本身分起來也是無限的。
透過一個無限的事物是在無限的時間裡而不是在有限的時間裡進行的,和無限的事物接觸是在無限數的而不是在有限數的現在上進行的。因此,既不能在有限的時間裡透過無限的量,也不能在無限的時間裡透過有限的量;而是:時間無限,量也無限,量無限,時間也無限。
雖然不可能在有限的時間越過無限的點,但若把時間在結構上看成與空間完全一樣,也可以無限分割,那麼在無限的時間點中越過無限的空間點是可能的。
亞里士多德解決方式是承認了時空的這種無限可分性,但是透過區分了兩種不同的“無限”,而主張在有限的時間裡透過有限距離的無限的點是可能的,因為有限的時間和距離本身都是可以無限分割的。
關於阿基里斯,如慢者永遠領先當然無法追上,但若允許越過一個距離,那就可以追上了。
關於飛矢不動,這個論證的前提是時間的不連續性,若不承認這個前提,其結論也就不再成立了。
關於運動場,相對於運動物體與相對於靜止物體的速度當然是不一樣的,越過同樣距離所花的時間當然也不一樣。
2.康德解答
康德認為這些矛盾其實是人類時空觀念中固有的,因此,無論時間還是空間其實都不是真實的。時間和空間並非事物的屬性,而是我們感知事物方式的屬性。它們不過是我們感知的形式而已,是我們的頭腦把時間和空間強加給了客觀世界,而不是客觀世界把時間和空間強加給我們的大腦。
從芝諾悖論中,康德看到了對“無窮”的理解超出了人類的理效能力。只要我們試圖去思考這一問題,無論是“無窮大”還是“無窮小”,都會遇上不可調和的邏輯矛盾。
3.休謨解答
休謨否認時間和空間的無限可分性,他認為兩者都是由有限的不可分的單元組成的,猶如魔方是由27塊木塊組成的一樣。
但那單元本身必有一定數量,而這種本身既具有一定數量、卻又是不可分割的單元是無法想象的。
4.黑格爾解答
黑格爾是馬克思的鼻祖。他認為,芝諾的悖論其實反映了理性本質上的矛盾性。一切