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窮多個元素，比如{0,1,2……}，那麼它的勢（即它元素的個數），就是阿列夫零，阿列夫零可以被理解為最小的無窮基數。既然有阿列夫零，那肯定還會有阿列夫一、阿列夫二……的確，阿列夫一就是大於阿列夫零的下一個最小的無窮基數，阿列夫二就是大於阿列夫一的下一個最小的無窮基數……以此類推。不斷地向下迭代，阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已經到達了無窮大的概念，單純的數學運算已經不能將這些無窮大增強了。就好像ω+1、ω+ω……這些運算是無法到達阿列夫一的。因為你會發現，即使在無窮大的基礎上，增加它的序數，是無法使得它的基數變大的，這兩個數都是同樣的無窮大，它們的元素依然可以一一對應。所以，需要一些公理或者一些定理、假設來證明更大的阿列夫一。連續統假設則認為2的阿列夫零次方等於阿列夫一，因為2的阿列夫零次方是對阿列夫零取冪集，一個集合的冪集的勢，一般都比這個集合本身的元素個數多（空集除外）。（正數、負數、有理數、分數、偶數、奇數等集合的勢是阿列夫零，實數集的勢是阿列夫一，因為實數集當中包含了無理數，無理數是有理數無法透過加減乘除一個不是無理數的數得到不動點。)
世界基數：如果一個k滿足Vκ是ZFC的一個模型，那麼κ是一個世界基數。
不可數基數：(比不可達基數小)，不可數基數是一種無窮基數。不可數集的基數統稱為不可數基數。一個無窮集合，如果不與自然數集等勢，它就具有不可數基數。例如實數集R的基數、R的冪集P(R)的基數都是不可數基數。不可數基數有無窮多個等級。
不可達基數：不可達基數就是指不可數正規的強極限基數，如果是不可數正規的極限基數，則稱之為弱不可達基數。可數就是指小於等於阿列夫零的基數。反之不可數就是指大於阿列夫零的基數。後繼，就是指比它小的基數中有最大值，極限就是指比它小的基數中沒有最大值，強極限就是比它小的任意基數中，2的次方均小於它。正規就是到達它的最短長度等於本身，也就是若k是正則基數，則不存在小於k個小於k的集組之並的基數為k，或者說不存在小於k個嚴格遞增的序列，其極限為k。奇異就是到達它的最短長度小於本身。對於基數k，存在小於k的嚴格遞增的序列的極限為k，則k為奇異基數。正規和奇異基數引入了共尾度的概念，共尾度就是到達它的最短長度。後繼序數的共尾度是1。正則基數就是cf(k)=k，奇異基數就是cf(k)＜k。
不可達基數k就是對任意小於k的基數，取冪集的基數仍然小於k並且由任意小於k個小於k的集組之並的基數仍然小於k。而對比弱不可達基數只要滿足＜k的任意基數的後繼仍然＜k就行。而具有以上相同性質的可數基數就是阿列夫零。
馬洛基數：又稱馬赫羅基數，對於所有K，正則基數 β 的初始段（即 β 以下的所有基數）中都包含一個K基數。這裡的K在這個基數以上所有的正則無限基數的並集中，刪去所有小於K的基數後，剩餘的基數集合是一個K的閉集。也就是一個馬洛基數κ之下的不可達基陣列成駐集，小於κ的所有正則基數集合是κ的駐子集，則κ為馬洛基數，說明白點就是任意不可達基數k，其他不可達基數在這個k前面形成無界閉集取駐集族為{a {0,1} 都存在一個κ個元素的子集使f在這個集上的值相同。也是，最小不可達基數κ，需要滿足cfκ=κ，a＜κ→2^a＜κ的基數，一個2-不可達基數κ是第κ個不可達基數，一個超不可達基數就是κ-不可達基數，每一個馬洛基數κ之下的不可達基陣列成駐集，小於κ的所有正則基數集合是κ的駐子集，則κ為馬洛基數，說明白點就是任意不可達基數k，其他不可達基數在這個k前面形成無界閉
