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（跟上一章同樣的理由）
伯克利基數：Berkeley 基數是Zermelo-Fraenkel集合論模型中的基數K，具有以下性質：
對於包含k和α＜k的每個傳遞集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a＜臨界點＜K.Berkeley基數是比Reinhardt基數嚴格更強的基數公理，這意味著它們與選擇公理不相容。作為伯克利基數的弱化是，對於Vk上的每個二元關係R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。
這意味著我們有基本的
j1，j2, j3...
j1:(Vk,∈)→(VK,∈),
j2：(VK,∈，j1)→(Vk,∈,j1),
j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈，j1，j2)等等。
這可以持續任意有限次，並且在模型具有依賴性選擇的範圍內無限。
因此，似乎可以透過斷言更多依賴性選擇來簡單地加強這一概念。對於每個序數入，存在一個ZF+Berkeley基數的傳遞模型，該模型在入序列下是封閉的，是不需要定義的類。
超級萊茵哈特基數：對於任一序數α，存在一j:V→V with j(K)＞α並具有臨界點K，可以稱為0=1是因為足夠大的大基數公理會導致不一致性，從而使該系統下所有命題為真。
伯克利club：基數κ是伯克利基數，如果對於任何帶κ的傳遞集k∈M和任何序數α＜κ，都會有一個初等嵌入j:M＜M和crit j＜k，如果真的存在伯克利基數，那麼就會有對力迫擴張絕對，它使最小的伯克利基數有共尾性ω，透過對κ的施加一定的條件，似乎可以增強Berkeley性質，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有傳遞，那麼對於任意α＜k，都有一個j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，對於任意一個可傳遞的M?k都存在j:M?M與crit j＜K，基數是Berkeley，且僅當對於任何傳遞集M?κ存在j:M?M和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基數也被稱為δ_α，稱κ為club-伯克利，如果κ是正則的，並且對於所有club→C?κ和所有帶κ的傳遞集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，稱κ為limit club伯克利，它是一個club伯克利基數/limit伯克利基數，如果K為最小的伯克利，則y＜k。
馮·諾依曼宇宙V
V?=?
V＿α+1=P(V＿α)
若λ為極限序數，則V_λ=∪_kλ V_k，
V=∪_k V_k，k跑遍所有序數，令ord為所有序數的類則V=∪_k∈ord V_k
V表示宇宙V，?表示初始狀態，α表示任意序數，P表示冪集，∪表示並集，k表示序數。
可構造宇宙V=L
定義Def為一個包含所有X子集的集合。一個X的子集x位於Def(X)當且僅當存在一個一階邏輯公式φ和u?,u?,u?,……∈X
使得x = {y∈X :φ?[y,u?,u?,u?,……]
然後:L?=?，L?=Def(L1)={?}=1，Ln+1=Def(Ln)=n，Lω=∪＿k＜ω Lω，Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinal?是極限序數
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序數
宇宙V=終極L：
V=終極L的前置條件：
一個內模型是終極-L至少要見證一個超緊緻基數。一
