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(Vρ+1)→L(Vρ+1)。
以下更大的巨大基數的性質被選擇公理所否定，但它們的存在不能只在策梅羅-弗倫克爾公理系統(即不使用選擇公理ZF )中否定。
萊因哈特基數：萊因哈特基數Reinhardt基數是非平凡基本嵌入的臨界點j : V→V的V進入自身。
這個定義明確地引用了適當的類j.
在標準ZF中，類的形式為{x|Φ(x,a)}對於某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明沒有這樣的類是基本嵌入j ：V→V.還2有其他已知不一致的Reinhardt基數公式。一是新增功能符號j用ZF的語言，連同公理說明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分離和收集公理j.另一種是使用類理論，如NBG或KM，它們承認在上述意義上不需要定義的類。又或是有一個公理主張存在被稱為Reinhardt基數的基數。
這個基數公理在普通集合論的公理系統ZFC中不能很好地表達，例如，需要考慮可以把真正的類作為理論物件來處理的ZFC的擴充套件，但是基數κ為reinhardd 在某個集合論的universe對自己的初等對映j中，存在κ為j(κ)≠κ的最小順序數的情況。
這個基數的概念引入後不久，這樣的基數的存在與集合論的擴充套件相矛盾(即， ZFC的這樣的擴張和主張Reinhardt基數存在的公理相結合的體系是矛盾的，或者ZFC的這樣的擴張可以作為定理證明Reinhardt基數的不存在)。
為了能夠記述在以下敘述的Reinhardt基數的定義中j的存在主張，需要那樣的擴充套件。對於某語言l，從L-結構m到L-結構n的對映f是初等的( elementary )是指，對於所有m的要素的組a0，...，an 1和所有謂語邏輯中的L-邏輯式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
