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(上一章大段重複,發不出來,分兩段)。

巨大基數:V中存在一個初等嵌入j:V→M從V到一個具有臨界點K的可傳遞內模型,那麼這個它就是所謂的巨大基數,也就是j(K)M?M。

伍丁基數:(在強基數後)

f:λ→λ存在一個基數κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M來自馮諾依曼宇宙V進入可傳遞的內部模型M和臨界點κ和V_j(f)(κ)?M一個等效的定義是這樣的:

λ是伍丁當且僅當λ對所有λ來說都是非常難以接近的

A?V_λ存在一個λ_A<λ這是<λ-A-strong的

超強基數:當且僅當存在基本嵌入 j :V→M從V到具有臨界點κ和V_j(κ)?M

類似地,基數κ是n-超強當且僅當存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點κ和V_jn(κ)?M 。

Akihiro Kanamori已經表明,對於每個n>0,n+1-超強基數的一致性強度超過n-huge 基數的一致性強度。

強緊緻基數:當且僅當每個κ-完全濾波器都可以擴充套件為κ-完全超濾器時,基數κ是強緊湊的。

強緊基數最初是根據無限邏輯定義的,其中允許邏輯運算子采用無限多的運算元。常規基數κ的邏輯是透過要求每個運算子的運算元數量小於κ來定義的;那麼κ是強緊緻的,如果它的邏輯滿足有限邏輯緊緻性的模擬。具體來說,從其他一些陳述集合中得出的陳述也應該從基數小於κ的某個子集合中得出。強緊性意味著可測性,並被超緊性所暗示。鑑於相關基數存在,與ZFC一致的是第一個可測基數是強緊基數,或者第一個強緊基數是超緊基數;然而,這些不可能都是真的。強緊基數的可測極限是強緊的,但至少這樣的極限不是超緊的。強緊性的一致性強度嚴格高於伍丁基數。一些集合論學家推測強緊基數的存在與超緊基數的存在是等一致的。然而,在開發出超緊基數的規範內模型理論之前,不太可能提供證明。可擴充套件性是強緊湊性的二階類比。

超緊緻基數:如果M?M,則稱κ為λ超緊基數;如果對任意為λ≥κ,κ為λ超緊基數,則稱k為超緊基數。

若κ是超緊基數,則存在κ個小於k的超強基數。

假設N是一個ZFC的模型, δ是一個超緊基數, 如果對任意λ>δ, 存在Pδ (λ) 一個δ-完全的正則精良超濾U滿足

1:Pδ(λ)∩N∈U;

2:U∩N∈N,

就稱N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型 (weak extender model) 。κ為λ-超緊緻基數是指存在滿足以下條件的j:V→M成為其臨界點:λM?M.j(κ)>λ.

κ為超緊基數是指對於任意λ≥κ,λ-超緊。

伊卡洛斯基數:存在一個L(V_λ+1,lcuras)非平凡基本嵌入,其臨界點低於λ,伊卡洛斯存在於V_λ+2-L(V_λ+1)。

完整性公理|3~|0

|3:存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。

|2:V存在一個非平凡基本嵌入到包含Vλ的傳遞類M,入為臨界點上方的第一個不動點,也就是, 非自明初等嵌入j:V→M,存在滿足vρm且超過j臨界點的最小不動點為ρ的情況。

|1:Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。

|0:存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入,其臨界點<λ公理。

也就是存在非自明初等嵌入j:L

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